Лекція. Поверхні геометричних тіл.Визначення поверхні і тіла. Проеціювання гранованих геометричних тіл на три площини прекцій.

 Утворення та задання поверхонь.

 

Поверхня в геометрії визначається як двопараметрична множина точок простору, тобто множина точок простору, координати яких є диференційованими функціями двох параметрів. Це визначення дозволяє розглянути поверхню як неперервну множину послідовних положень змінної лінії – твірної, що рухається в просторі за певним правилом, або перетин твірної (у всіх її послідовних положеннях), з деякими фіксованими лініями, які називаємо напрямними.

 

Рис.

В нарисній геометрії користуються головним чином кінематичним способом утворення поверхонь. На поверхні Ф можливо в загальному випадку провести два типи сімейства ліній l та m, яким будуть задовольняти слідуючі умови:

-ніякі дві лінії одного сімейства не перетинаються між собою.

-кожна лінія одного сімейства перетинає всі лінії другого.

            На рис.  поверхня Ф утворена рухом твірної l по нерухомим напрямним m. Твірні та напрямні можуть мінятись місцями.

            З великої кількості поверхонь оточуючого нас простору ми будемо розглядати два класи, поверхні обертання і гранні поверхні.

            Поверхнею обертання називається поверхня, яка описується якою-небудь лінією (прямою, кривою) твірною при її обертанні навколо нерухомої осі.

            Визначник поверхні обертання: 1. Нерухома пряма – вісь обертання; твірна - пряма або крива лінія. 2. Твірна обертається навколо осі так, щоб кожна точка твірної здійснила повний оберт.

            Щоб викреслити складну деталь, треба навчитись будувати прості геометричні фігури, форми яких складають деталі: призми, циліндри, сфери, конуси, піраміди. Проектування геометричних тіл заключається не тільки в побудові за заданими розмірами проекцій цих тіл, але і в умінні провести повний аналіз креслення, тобто вказати ребро, вершини, грані, визначити взаємне розміщення цих елементів, знайти видимі і невидимі частини фігури, визначити проекції точок , які лежать на поверхні тіла, тощо.           

Положення точки, яка лежить на поверхні задана, якщо відома одна її проекція і вказано, на якій частині поверхні (видимої або невидимої) точка розміщена. Якщо немає вказівок, вважають, що точка розміщена на видимій частині поверхні.

             Щоб побудувати недостаючі проекції точки яка лежить на поверхні, необхідно: 1) визначити вид поверхні (проектуюча або загального положення) на якій лежить задана точка; 2) вибрати графічно просту для побудови на кресленні лінію поверхні яка б проходила через задану точку; 3) побудувати проекції цієї лінії на кресленні; 4) побудувати шукані на кресленні задані точки.

            Будь-яка лінія являє собою сукупність точок, тому побудова проекцій лінії, розміщеної на поверхні, зводиться до побудови проекцій декількох точок, які належать цій лінії.

            Розглянемо деякі поверхні, утворені обертанням прямої лінії.

 

 Відображення поверхонь. Точки на поверхнях

 Циліндр.

 

            Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами (основами). Прямим називається циліндр, в якого твірні перпендикулярні до основи  .

            Проводячи аналіз креслення циліндра можна відмітити, що верхня основа циліндра паралельна площині ¹П, нижня основа належить ¹П. Бокова циліндрична поверхня – горизонтально – проектуюча. На ¹П вона проектується в коло. Твірні даної поверхні (позначені як а, b, c, d) являються горизонтально-проектуючими прямими.

Розглянемо аксонометричне зображення циліндра ( на горизонтальній проекції видимою буде верхня основа циліндра. На фронтальній проекції видимою буде передня частина циліндра (до площини d). Площина d умовно поділяє зображення циліндра на фронтальній площині проекцій на видиму і невидиму частини. Площина e розділяє поверхню циліндра на видиму і невидиму частини на профільній площині проекцій. ³П. Всі точки, що знаходяться зліва від даної площини на профільній площині ³П будують видимі, а точки, що знаходяться справа – невидимі. Невидимі точки на комплексному кресленні зображуються в круглих дужках (точка E

            Побудова всіх проекцій точок здійснюється з допомогою ліній зв’язку по відповідних координатах. Яку б точку ми не взяли на поверхні циліндра, горизонтальна проекція цієї точки буде знаходитись на основі циліндра, тобто на колі.

            Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

            1. Задано: точка А на фронтальній проекції належить твірній а та верхній основі a .  У символьному записі - ²А Ì ²а ̲a (рис. 4.2,в). 

Креслення: проекція точки ¹А на горизонтальній площині співпадає із проекцією твірної ¹А º ¹а. Проекція точки ³А на профільній площині проекцій співпадає із профільною проекцією твірної ³а та належить верхній основі - ³a (твірна - а належить фронтальній площині g, що проходить через вісь симетрії  тому на профільній площині не викреслюється).

            2. Задано: точка В на фронтальній проекції належить верхній основі a та боковій поверхні g . У символьному записі - ²B Ì a² ̲g .

            Креслення: проекція ¹В на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³В на профільній площині проекцій видима належить верхній основі - ³a і знаходиться вправо від осі симетрії на відстані y_B

            3. Задано: на фронтальній проекції точка C належить боковій поверхні g . У символьному записі - ²C ̲g .

            Креслення: проекція ¹С на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³С на профільній площині проекцій видима і знаходиться від проекції ²С по горизонтальній лінії з’вязку вправо від осі симетрії на відстані y_С

            4. Задано: на фронтальній проекції точка D належить боковій поверхні g . У символьному записі – ²D ̲g .

            Креслення: проекція ¹D на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³D на профільній площині проекцій невидима і знаходиться від проекції ²D по горизонтальній лінії з’вязку вправо від осі симетрії на відстані y_D

            5. Задано: невидима на фронтальній проекції точка E належить боковій поверхні g . У символьному записі – ²E ̲g .

            Креслення: проекція ¹E на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція ³E на профільній площині проекцій невидима і знаходиться від проекції ²E по горизонтальній лінії з’вязку вліво від осі симетрії на відстані y_E

Конус.

 

            Конус – геометричне тіло, обмежене боковою конічною поверхнею - b і площиною основи - a, що перетинає всі його твірні. Основа конуса лежить в площині ¹П. Прямим круговим називається конус, у якого основа є коло, а висота проходить через центр основи. Бічна поверхня прямого конуса утворена твірнми які проходять через загальну точку S - вершину конуса На рис.  зображено проекції конуса на площини проекцій.

            Твірні a, b є окреслюючими по відношенню до ²П, вони лежать у фронтальній площині. Твірні c, d – окреслюючі по відношенню до площини проекцій ³П, знаходяться в профільній площині . Всі інші твірні конуса - прямі загального положення і на епюрі не зображуються.

            Проекції точок, які лежать на основі конуса, знаходять на інших площинах проекцій за допомогою ліній зв’язку.

            Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1.     Задано: проекція точки - ²С  належить основі конуса.

Креслення: проекції точки - ¹С на горизонтальній площині знайдемо на колі основи, а проекцію точки - ³С на профільній площині знайдемо на відстані Y_С в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

            2.Задано: точки – ¹D і  ¹E , що належать окреслюючим твірним - ¹d, ¹c конуса .

Необхідно: Побудувати проекції точок. Вказати іх видимість.

            Аналіз: На горизонтальній проекції видимою буде вся бічна поверхня конуса. Фронтальні окреслюючі твірні ²а, ²в ділять бічну поверхню конуса на передню -  видиму і задню - невидиму (по відношенню до ²П . Профільні  окреслюючі твірні - ³d, ³c ліву видиму і праву невидимі частини (по відношенню до ³П,  

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - ²g через фронтальну проекцію точки – (²D) –невидима, та горизонтальну площину - ²d через фронтальну проекцію точки – ²E. Побудуємо коло радіусом - R1 в площині ¹g та коло радіусом – R2 в площині - ²d на горизонтальній площині проекцій. Проекції точок – ¹D і ¹E  на горизонтальній площині знайдемо в перетині кіл радіусами R1 та R2 з горизонтальною проекцією окреслюючих твірних - ¹d, ¹c. Профільні проекції точок- ³D і  ³E знаходяться в перетині горизонтальних ліній зв’язку від фронтальних проекцій точок- ²D і  ²E  та профільних проекцій окреслюючих твірних - ³d та ³c. 

            3. Задано: точка –  ²F , що належить конічній поверхні .

Креслення:  Проведемо горизонтальну площину - ²e через фронтальну проекцію точки – ²F. Побудуємо коло радіусом - R1 в цій площині на горизонтальній проекції. Горизонтальну проекцію точки - ¹F  знайдемо в перетині цього кола і вертикальної лінії зв’язку від фронтальної проекції точки – ²F. Профільну проекцію точки – ³F знайдемо в площині - ³e на відстані Y_F в напрямку додатніх значень осі координат – Y.